题目

f(x),定义域为R,且x不恒为0 f(m)f(n)=mf(n/2)+nf(m/2)成立.求所有满足条件的函数f(x).

提问时间：2020-11-11

答案

原式两边同时处以mn（m、n不为零）得 f(m)f(n)/(mn)=f(n/2)/n+nf(m/2)/m;
令g（x）=f（x）/x (x不为零),则有2g（m）g（n）=g（m/2）+g（n/2）,
令m=n,得g（m/2）=[g（m）]^2>=0对任意m不为零都成立,
再将g（m/2）=[g（m）]^2、g（n/2）=[g（n）]^2代入2g（m）g（n）=g（m/2）+g（n/2）,得：[g（m）-g（n）]^2=0,即g（m）=g（n）对于任意m、n不为零时成立,
亦即函数g（x）为常数函数,
注意到g（x）不能恒为零（否则f（x）将恒为零）且非负,即g（x）>0,
而若存在x使得g（x）>1,则g（x/2）=[g（x）]^2>g（x）,即g（x）不为常数函数,与之前结论
矛盾!
而若存在x使得0