题目
如图,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P.
(1)能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由;
(2)再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2 cm?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.
(1)能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由;
(2)再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2 cm?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.
提问时间:2020-11-11
答案
(1)设AP=xcm,则PD=(10-x)cm,
因为∠A=∠D=90°,∠BPC=90°,
所以∠DPC=∠ABP,
所以△ABP∽△DPC,
则
=
,即AB•DC=PD•AP,
所以4×4=x(10-x),即x2-10x+16=0,
解得x1=2,x2=8,
所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C,AP=2cm或8cm;
(2)能.
设AP=xcm,CQ=ycm.
∵ABCD是矩形,∠HPF=90°,
∴△BAP∽△ECQ,△BAP∽△PDQ,
∴
=
,
=
,
∴AP•CE=AB•CQ,AP•PD=AB•DQ,
∴2x=4y,即y=
,
∴x(10-x)=4(4+y),
∵y=
,
即x2-8x+16=0,
解得x1=x2=4,
∴AP=4cm,
即在AP=4cm时,CE=2 cm.
因为∠A=∠D=90°,∠BPC=90°,
所以∠DPC=∠ABP,
所以△ABP∽△DPC,
则
AB |
PD |
AP |
DC |
所以4×4=x(10-x),即x2-10x+16=0,
解得x1=2,x2=8,
所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C,AP=2cm或8cm;
(2)能.
设AP=xcm,CQ=ycm.
∵ABCD是矩形,∠HPF=90°,
∴△BAP∽△ECQ,△BAP∽△PDQ,
∴
AP |
CQ |
AB |
CE |
AP |
DQ |
AB |
PD |
∴AP•CE=AB•CQ,AP•PD=AB•DQ,
∴2x=4y,即y=
x |
2 |
∴x(10-x)=4(4+y),
∵y=
x |
2 |
即x2-8x+16=0,
解得x1=x2=4,
∴AP=4cm,
即在AP=4cm时,CE=2 cm.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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