题目
高中数学题,和椭圆有关
已知椭圆的中心点在原点o,焦点在X轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.若椭圆上存在一点C,使四边形OACB为平行四边形.
(1)求椭圆的离心率.
(2)若△OAC的面积为15倍根号5,求这个椭圆的方程
哪位高手能做一下,希望有详细解题思路,谢
已知椭圆的中心点在原点o,焦点在X轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.若椭圆上存在一点C,使四边形OACB为平行四边形.
(1)求椭圆的离心率.
(2)若△OAC的面积为15倍根号5,求这个椭圆的方程
哪位高手能做一下,希望有详细解题思路,谢
提问时间:2020-11-11
答案
⑴设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
设C(acosθ,bsinθ),则OC中点M为(0.5acosθ,0.5bsinθ)
设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得:
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,得:k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×(x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中点,所以 (x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化简得:
bcosθ+asinθ=0 ……①
同时MF的斜率为1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化简得:
acosθ-bsinθ=2c ……②
①②式平方相加,得:a^2+b^2=4c^2 ,又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5
利用椭圆焦点弦长公式AB=2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直线AB的倾斜角
这里,cos^α=1/2 ,所以AB=4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直线AB的距离d=c/√2 且S△OAB=15√5=1/2AB×d
将以上各式代入,化简得:a^2=100,b^2=60
∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1
顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧:
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点,倾斜角为α.
另一个焦点为F2,连接AF2与BF2 设AF1=m,BF1=n
则,根据椭圆定义,AF2=2a-m ,BF2=2a-n
在三角形AF1F2中,由余弦定理得
(2a-m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化简得:m=b^2/(a-c*cosα)
同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB=m+n=2ab^2/(a^2-c^2cos^α)
设C(acosθ,bsinθ),则OC中点M为(0.5acosθ,0.5bsinθ)
设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得:
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,得:k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×(x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中点,所以 (x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化简得:
bcosθ+asinθ=0 ……①
同时MF的斜率为1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化简得:
acosθ-bsinθ=2c ……②
①②式平方相加,得:a^2+b^2=4c^2 ,又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5
利用椭圆焦点弦长公式AB=2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直线AB的倾斜角
这里,cos^α=1/2 ,所以AB=4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直线AB的距离d=c/√2 且S△OAB=15√5=1/2AB×d
将以上各式代入,化简得:a^2=100,b^2=60
∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1
顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧:
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点,倾斜角为α.
另一个焦点为F2,连接AF2与BF2 设AF1=m,BF1=n
则,根据椭圆定义,AF2=2a-m ,BF2=2a-n
在三角形AF1F2中,由余弦定理得
(2a-m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化简得:m=b^2/(a-c*cosα)
同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB=m+n=2ab^2/(a^2-c^2cos^α)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
- 1甲、乙两人在500米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出1分钟时,乙从起点同向跑出,从这时起甲用了5分钟赶上乙.问:乙每分钟跑多少米?
- 2往胆矾中放入铁钉,现象是什么以及化学反应方程式
- 3运算放大器的平衡电阻
- 4阶梯型矩阵,列标一定不小于行标,
- 51+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12.+41+42-43-44
- 6计算器等于就加倍
- 7若y=根号3x-1 + 根号1-3x +2008,则3x+y的值为_____?
- 8利用重力的方向总是竖直向下的道理,任梦做成了重垂线,它不仅可以检验竖直面,还可以检验__________
- 9两点之间什么线最短
- 10学校新建一个长60米、宽30米、高10米的体育馆,准备用长80厘米、宽10厘米、厚3厘米的地板铺地面,需要多少块木地板?
热门考点
- 1有一个数,用5、8、10去除,都能整除,这个数最小是多少?
- 2副词不是放在系动词的后面吗?为什么这句话是这样的:i will always be there
- 3羿请不死之药的请是什么意思
- 4英国资产阶级作为世界近代史的开端有何重要意义?
- 5已知x+y=5,xy=-3,则x^2y+xy^2,
- 6一般句子在全文的作用,内容上,结构上各是什么?
- 7紧急,紧急!呼呼觉觉110
- 8n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…an中任意n-1个不同的数的
- 9如图,已知二次函数y=x2-(m-3)x-m的图象是抛物线. (1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3? (2)当m为何值时,方程x2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数? (3)设
- 10底面周长15.7分米,高6.求圆柱的表面积.