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题目
如图,已知二次函数y=x2-(m-3)x-m的图象是抛物线.

(1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3?
(2)当m为何值时,方程x2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数?
(3)设抛物线的顶点为M,与x轴的交点P、Q,求当PQ最短时△MPQ的面积.

提问时间:2020-07-18

答案
(1)根据题意得
(m-3)2-4•(-m)
1
=3,
解得m1=0,m2=2,
即m为0或2时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3;
(2)∵△=(m-3)2-4•(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0,
∴方程x2-(m-3)x-m=0有两个实数根,
设方程x2-(m-3)x-m=0的两个根为x1,x2
则x1+x2=m-3<0,x1•x2=-m>0,
∴m<0;
(3)∵PQ=
(m-3)2-4•(-m)
=
(m-1)2+8

∴m=1时,PQ最短,最短值为
8
=2
2
,此时抛物线解析式为y=x2+2x-1=(x+1)2-2,
∴M点的坐标为(-1,-2),
∴△MPQ的面积=
1
2
×2×2
2
=2
2
(1)根据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到
(m-3)2-4•(-m)
1
=3,然后解方程即可;
(2)由于△=(m-1)2+8>0,根据判别式的意义得到方程x2-(m-3)x-m=0有两个实数根,设方程x2-(m-3)x-m=0的两个根为x1,x2
根据根与系数的关系得x1+x2=m-3<0,x1•x2=-m>0,然后求出两不等式的公共部分即可;
(3)据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到PQ=
(m-3)2-4•(-m)
,变形得到PQ=
(m-1)2+8
,根据非负数的性质得m=1时,PQ的最短值为2
2
,此时抛物线解析式为y=x2+2x-1=(x+1)2-2,得到M点的坐标为(-1,-2),然后根据三角形面积公式求解.

抛物线与x轴的交点.

本题考查了抛物线与x轴的交点:求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.抛物线与x轴的两个交点间的距离为

b2-4ac
|a|

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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