题目

化简：（20＋14√2）的立方根＋（20－14√2）的立方根
化简：
（20＋14√2）的立方根＋（20－14√2）的立方根

提问时间：2020-11-10

答案

设（20＋14√2）的立方根＋（20－14√2）的立方根 =k,则
k³=20+14√2+3×3次根号下[（20＋14√2）²（20-14√2）]+3×3次根号下[（20＋14√2）（20-14√2）²]+（20－14√2）
=40+3×3次根号下[（20＋14√2）（20-14√2）（20+14√2）]+3×3次根号下[（20＋14√2）（20-14√2）（20-14√2）]
=40+3×3次根号下[8（20+14√2）]+3×3次根号下[8（20-14√2）]
=40+6×[3次根号下（20+14√2）]3次根号下（20-14√2）]
即k³=40+6k
转化为求k的方程,即
k³-6k-40=0
k³-4³-6k+24=0(注：分组分解,把-40分成-4³+24)
（k-4)(k²+4k+4²)-6(k-4)=0
(k-4)(k²+4k+10)=0
∴k-4=0或k²+4k+10=0
由k-4=0,得k=4.
∵k²+4k+10=0中,△=b²-4ac=4²-40＜0.∴无解
∴k=4.
即（20＋14√2）的立方根＋（20－14√2）的立方根 =4.