题目

如图，半径为2

5

的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．

（1）求证：PA•PB=PC•PD；
（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的长．

提问时间：2020-11-10

答案

（1）证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A=∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴APCP＝PDPB，∴PA•PB=PC•PD；（3分）（2）证明：∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，∴FP=FC，∴∠C=∠CPF．又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，∴...

（1）求证PA•PB=PC•PD可以转化为证明Rt△APD∽Rt△CPB；
（2）求证EF⊥AD，可以转化为证明∠DPE+∠D=90°，从而转化为证明∠A=∠DPE；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，OP是矩形MONP的对角线，根据勾股定理就可以求出OP的长．

本题考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：证明线段的积相等的问题可以转化为证明三角形相似的问题．并且本题还考查了垂径定理，以及勾股定理．