题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点(根号3,0),且离心率e=根号6/3
（1）求椭圆的方程
（2）若直线y=kx+m与该椭圆有两个交点M,N,当线段MN的重点在直线x=1上时,求k的取值范围

提问时间：2020-11-10

答案

1.所给方程为标准方程,所以(√3,0)为长轴右端点,
即a=√3,所以c=ae=√3*√6/3=√2,b=1,
所以 椭圆方程为 x^2/3+y^2=1.
2.设M(x1,y1),N(x2,y2),由已知,x1+x2=2,设MN中点纵坐标为d,则y1+y2=2d,
由(x1)^2/3+(y1)^2=1,(x2)^2/3+(y2)^2=1,相减得：(x1-x2)(x1+x2)/3+(y1-y2)(y1+y2)=0
得 k=(y2-y1)/(x2-x1)=-( x1+x2)/( y1+y2)=-1/d.
x=1与x2/3+y2=1的交点纵坐标为±√(2/3),所以 -√(2/3)≤d≤√(2/3),
所以 k∈(-∞,-√(2/3))∪(√(2/3),+ ∞).