题目
如图三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形,CA=CB,EA=ED,D在AB
上,G是BD中点,F是CE的中点
求证FG垂直于CE,FG=二分之一CE
麻烦各位自己画个图
上,G是BD中点,F是CE的中点
求证FG垂直于CE,FG=二分之一CE
麻烦各位自己画个图
提问时间:2020-11-10
答案
延长ED交BC于H,连结AF、FH、HG,
因为△ACB、△ADE都为等腰直角三角形,
所以∠ACH=90°,∠AEH=90°,∠CAD=45°,∠EAD=45°,
所以∠CAE=∠CAD+∠EAD=90°,
所以四边形AEHC为矩形,则∠EHC=90°,
因为CF=FE,所以FH=CF=FE,则∠FCH=∠FHC,
∠HFC=180°-∠FCH-∠FHC=180°-2*∠FCH
同理在直角三角形ACE中,CF=FE,
所以AF=CF=FE,则有AF=FH,∠FAE=FEA,
则∠AFE=180°-∠FAE-∠FEA=180°-2*∠FEA,
因为AEHC为矩形,所以CH//AE,则∠FCH=∠FEA,
所以∠HFC=∠AFE,故A、F、H在同一直线上.
因为EHB=90°,∠B=45°,所以三角形HDB也为等腰直角三角形,
因为DG=GB,所以HG⊥DB,
在直角三角形中,AF=FH,所以GF=AF=CF=FE=1/2CE,
因为AF=CF,所以∠FAC=∠FCA,则∠HFC=2*∠FAC,
因为GF=AF,所以∠FAG=∠FGA,则∠HFG=2*∠FAG,
所以∠GFC=∠HFC+∠HFG=2(∠FAC+∠FAG)=2*∠CAB,
因为∠CAB=45°,所以∠GFC=90°,
所以GF⊥CE,且GF=1/2CE.
因为△ACB、△ADE都为等腰直角三角形,
所以∠ACH=90°,∠AEH=90°,∠CAD=45°,∠EAD=45°,
所以∠CAE=∠CAD+∠EAD=90°,
所以四边形AEHC为矩形,则∠EHC=90°,
因为CF=FE,所以FH=CF=FE,则∠FCH=∠FHC,
∠HFC=180°-∠FCH-∠FHC=180°-2*∠FCH
同理在直角三角形ACE中,CF=FE,
所以AF=CF=FE,则有AF=FH,∠FAE=FEA,
则∠AFE=180°-∠FAE-∠FEA=180°-2*∠FEA,
因为AEHC为矩形,所以CH//AE,则∠FCH=∠FEA,
所以∠HFC=∠AFE,故A、F、H在同一直线上.
因为EHB=90°,∠B=45°,所以三角形HDB也为等腰直角三角形,
因为DG=GB,所以HG⊥DB,
在直角三角形中,AF=FH,所以GF=AF=CF=FE=1/2CE,
因为AF=CF,所以∠FAC=∠FCA,则∠HFC=2*∠FAC,
因为GF=AF,所以∠FAG=∠FGA,则∠HFG=2*∠FAG,
所以∠GFC=∠HFC+∠HFG=2(∠FAC+∠FAG)=2*∠CAB,
因为∠CAB=45°,所以∠GFC=90°,
所以GF⊥CE,且GF=1/2CE.
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