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题目
李永乐李正元13年高数3复习全书,第9页,limf(x)^g(x)=e^J,证明J=limg(x)[f(x)-1].
书上就说
limf(x)^g(x)=e^J,其中J=limg(x)[f(x)-1].本人愚钝,看不懂,不知道J的值如何确定的.讲的是变量替换法求极限貌似.
书上没有写出x趋向于某值。虽然我把具体的题目里的f(x)-1极限算出来都是等于0.就是说
limf(x)^g(x)=e^J,其中J=limg(x)[f(x)-1].这里得满足limf(x)-1=0是吧?还是可以用一个趋向于零的特例得到一般的结论:
任何条件下,limf(x)^g(x)=e^J,其中J=limg(x)[f(x)-1].

提问时间:2020-11-10

答案
由于x趋向0时 lim(1+x)^1/x=e
将题目所给的 构造成这个形式就好
limf(x)^g(x)==lim[1+(f(x)-1)]^[1/((f(x)-1)*g(x)*(f(x)-1)=e^g(x)[f(x)-1]=e^j
所以J=limg(x)[f(x)-1].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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