题目

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞）且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

2

）=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
（1）求f（1），f（2）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

提问时间：2020-11-09

答案

解（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
∴令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
再令x=2，y=

1

2

，
∴f（1）=f（2）+f（

1

2

）=0，
∴f（2）=-1
（2）∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
∴函数在（0，+∞）减函数，
令x=y=2，
∴令x=y=2得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
∵f（-x）+f（3-x）≥-2．
∴f（x）+f（x-3）≥f（4），
∴f[x（x-3）]≥f（4），
∴

-x＞0 3-x＞0 x(x-3)≤4

，
解得-1≤x＜0
∴原不等式的解集为[-1，0）

（1）令x=y=1易得f（1）=0；再令x=2，y=

1

2

，可得f（2）值；
（2）先求出f（4）=-2，由f（-x）+f（3-x）≥-2，得到f[x（x-3）]≥f（4），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，能求出原不等式的解集．

本题考点：抽象函数及其应用．

考点点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及函数单调性的应用，突出转化思想的考查，属于中档题．