题目

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂直OB,求椭圆方程

提问时间：2020-11-09

答案

∵e＝√（a^2－b^2）/a＝√2/2,∴a^2－b^2＝a^2/2,∴a^2＝2b^2.
设椭圆与直线的交点坐标是A（m,n）,B（p,q）.
将直线方程改写成：y＝－x－1,代入椭圆方程中,得：x^2/a^2＋（－x－1）^2/b^2＝1,
∴x^2/（2b^2）＋（－x－1）^2/b^2＝1,∴x^2＋2（x＋1）^2＝2b^2,
∴x^2＋x^2＋2x＋2＝2b^2,∴3x^2＋2x＋2－2b^2＝0.
很明显,m、p的值是方程3x^2＋2x＋2－2b^2＝0的两根,由韦达定理,有：
m＋p＝－2/3,　mp＝（2－2b^2）/3.
∵OA⊥OB,又OA的斜率＝n/m,OB的斜率＝q/p,∴nq/（mp）＝－1,
而显然有：n＝－m－1,　q＝－p－1,∴（－m－1）（－p－1）/（mp）＝－1,
∴［mp＋（m＋p）＋1］/（mp）＝－1,∴mp＋（m＋p）＋1＝－mp,
∴（m＋p）＝－2mp－1,∴（2－2b^2）/3＝－2×（－2/3）－1＝－1/3,
∴2－2b^2＝－1,∴2b^2＝3,∴b^2＝3/2,得：a^2＝2b^2＝3.
∴要求的椭圆方程是：x^2/3＋y^2/（3/2）＝1.