题目
泰勒公式 证明
泰勒中值定理是说函数f(x)等于n次多项式Pn(x)（就是f(x)的n阶泰勒公式）与Rn(x)（f(x)的n阶泰勒公式的余项）的和,余项具有形式[f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],所以需要证明的就是Rn(x)=[f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]. ! 为什么只需要证明Rn啊 ?!
泰勒中值定理是说函数f(x)等于n次多项式Pn(x)（就是f(x)的n阶泰勒公式）与Rn(x)（f(x)的n阶泰勒公式的余项）的和,余项具有形式[f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],所以需要证明的就是Rn(x)=[f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]. ! 为什么只需要证明Rn啊 ?!
提问时间：2020-11-09
答案
书上的表达方式有很多同学不能理解.
要证明式子 f(x)= Pn(x) + [f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],
只要证明 f(x)- Pn(x) = [f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],
现在我们引入记号 Rn(x) = f(x)- Pn(x)
这样只要证明 Rn(x) = [f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],
从而只要证 Rn(x) / [(x-x0)^(n+1)]= [f(ξ)] / [(n+1)!],
后面就是对左边两个函数应用Cauchy中值定理证明了.
要证明式子 f(x)= Pn(x) + [f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],
只要证明 f(x)- Pn(x) = [f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],
现在我们引入记号 Rn(x) = f(x)- Pn(x)
这样只要证明 Rn(x) = [f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!],
从而只要证 Rn(x) / [(x-x0)^(n+1)]= [f(ξ)] / [(n+1)!],
后面就是对左边两个函数应用Cauchy中值定理证明了.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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