题目

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

提问时间：2020-11-09

答案

（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象上，
即-y=log_a（-x+1），则y＝ −loga(1−x)＝loga

1

1−x

∴g(x)＝loga

1

1−x

（2）f（x）+g（x）≥m  即loga(1+x)+loga

1

1−x

≥m，
也就是loga

1+x

1−x

≥m在[0，1）上恒成立．
设h(x)＝loga 

1+x

1−x

，x∈[0，1)，
则h(x)＝loga(−

x+1

x−1

) ＝loga(−

x−1+2

x−1

) ＝loga(−1−

2

x−1

)
由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，
只需h（x）_min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．
m的取值范围是（-∞，0]