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题目
如图(1),将一直角三角形的直角顶点M放在腰长为4的等腰直角三角形ABC斜边的中点,另两条直角边分别与线段BC,AC交于D,E两点,当绕着直角顶点M旋转时,该直角三角形两直角边与△ABC两直角边的交点位置随之发生变化.有两位同学提出各自的判断:甲,△MDE的形状不会发生变化;乙,四边形MECD的面积不会发生变化.你认为这两位同学的判断是否正确?请在图(2)中作出旋转后的图形,并说明理由.

提问时间:2020-11-08

答案
甲乙两位同学的判断都正确.
如图,连接CM,∵M是等腰直角△ABC的中点,
∴BM=CM,∠ACM=∠B=45°,∠CMB=90°,
∵∠DME=90°,
∴∠BMD+∠CMD=90°,
∠CME+∠CMD=90°,
∴∠BMD=∠CME,
在△BMD和△CME中,
∠ACM=∠B
BM=CM
∠BMD=∠CME

∴△BMD≌△CME(ASA),
∴MD=ME,
∴△MDE是等腰直角三角形,
因此,△MDE的形状不会发生变化,故甲的说法正确;
S四边形MECD=S△CME+S△CME=S△BMD+S△CME=S△CBM,不变,所以,乙的说法正确,
综上所述,甲乙两位同学的判断都正确.
连接CM,根据等腰直角三角形的性质可得BM=CM,∠ACM=∠B=45°,再根据同角的余角相等求出∠BMD=∠CME,再利用“角边角”证明△BMD和△CME全等,根据全等三角形对应边相等可得DM=DE,从而得到△MDE是等腰直角三角形,再求出四边形MECD的面积等于△BCM的面积.

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本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

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