题目
已知向量
=(sinx,1),
=(t,x),若函数f(x)=
•
在区间[0,
]上是增函数,则实数t的取值范围是 ___ .
a |
b |
a |
b |
π |
2 |
提问时间:2020-11-08
答案
∵
=(sinx,1),
=(t,x),
∴
•
=sinx•t+1•x=tsinx+x,
由此可得f(x)=
•
=tsinx+x,在区间[0,
]上是增函数,
∴f'(x)≥0区间[0,
]上恒成立,
∵对函数f(x)求导数,得f'(x)=tcosx+1,
∴不等式tcosx+1≥0区间[0,
]上恒成立,
结合在区间[0,
]上0≤cosx≤1,可得t≥-1
即实数t的取值范围是:[-1,+∞)
故答案为:[-1,+∞)
a |
b |
∴
a |
b |
由此可得f(x)=
a |
b |
π |
2 |
∴f'(x)≥0区间[0,
π |
2 |
∵对函数f(x)求导数,得f'(x)=tcosx+1,
∴不等式tcosx+1≥0区间[0,
π |
2 |
结合在区间[0,
π |
2 |
即实数t的取值范围是:[-1,+∞)
故答案为:[-1,+∞)
根据平面向量的数量积运算,可得f(x)=tsinx+x在区间[0,
]上是增函数.由导数与函数单调性的关系,得不等式
f'(x)≥0即tcosx+1≥0区间[0,
]上恒成立,结合此时cosx的值域即可得到实数t的取值范围.
π |
2 |
f'(x)≥0即tcosx+1≥0区间[0,
π |
2 |
平面向量数量积的运算.
本题以向量数量积运算为载体,求函数恒成立时实数t的取值范围,着重考查了运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等知识,属于中档题.
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