题目

P是三角形内一点,向量PA+2向量pb+3向量PC=0
则三角形ABP,BCP ,ACP 的面积比是多少

提问时间：2020-11-08

答案

为方便起见,本解中PA表示向量PA,|PA|表示线段的长
为了计算这道题目,我们先证明一个引理:
△ABC内有一点P使得PA+PB+PC=0则S△PBC=S△PAB=S△PAC
用平行四边形法则做出PB和PC的和向量PD,则有|AP|=|DP|,且A,P,D共线
由于四边形BDCP是平行四边形,所以,B,C到PD的距离相等,所以S△PAB=S△PAC(同底等高)
而|AP|=|PD|所以,S△ACP=S△PCD(等底同高)=S△PBC(都是四边形面积的一半)
从而引起得证
让我们回到这道题:
延长PB到X,使|BX|=|BP|
延长PC到Y,使|CY|=2|PC|
连结AX,AY,XY,XC
那么在有P是三角形AXY中一点,且有PA+PX+PY=0
由引理知S△APX=S△APY=S△PXY(记作S)
由辅助线作法,有
S△APB=S△APX/2=S/2
S△APC=S△APY/3=S/3
S△PBC=S△CPX/2=(S△PXY/3)/2=S/6
所以,S△ABP:S△BCP:S△ACP=S/2:S/6:S/3=3:1:2