题目
已知x∈R,用符号[x]表示不超过x的最大整数.若函数f(x)=[x]/x-a有且仅有3个零点,则a的取值范围是_______
提问时间:2020-11-08
答案
因为f(x)=[x]/x-a=0,故[x]/x=a;
分x>0和x<0的情况讨论,显然有a≥0.
若x>0,此时[x]≥0;
若[x]=0,则[x]/x=0;
若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,故[x]/([x]+1)<[x]/x≤1,即[x]/([x]+1)且[x]/([x]+1)随着[x]的增大而增大.
若x<0,此时[x]<0;
若-1≤x<0,则[x]/x≥1;
若x<-1,因为[x]≤x<-1;[x]≤x<[x]+1,故1≤[x]/x<[x]/([x]+1),即1≤a<[x]/([x]+1).
且[x]/([x]+1)随着[x]的减小而增大.
又因为[x]一定是,不同的x对应不同的a值.
所以为使函数f(x)=[x]/x-a有且仅有3个零点,只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1,-2,-3.
若[x]=1,有1/2若[x]=2,有2/3若[x]=3,有3/4若[x]=4,有4/5若[x]=-1,有a>1;
若[x]=-2,有1≤a<2;
若[x]=-3,有1≤a<3/2;
若[x]=-4,有1≤a<4/3;
综上所述,3/4
分x>0和x<0的情况讨论,显然有a≥0.
若x>0,此时[x]≥0;
若[x]=0,则[x]/x=0;
若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,故[x]/([x]+1)<[x]/x≤1,即[x]/([x]+1)且[x]/([x]+1)随着[x]的增大而增大.
若x<0,此时[x]<0;
若-1≤x<0,则[x]/x≥1;
若x<-1,因为[x]≤x<-1;[x]≤x<[x]+1,故1≤[x]/x<[x]/([x]+1),即1≤a<[x]/([x]+1).
且[x]/([x]+1)随着[x]的减小而增大.
又因为[x]一定是,不同的x对应不同的a值.
所以为使函数f(x)=[x]/x-a有且仅有3个零点,只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1,-2,-3.
若[x]=1,有1/2若[x]=2,有2/3若[x]=3,有3/4若[x]=4,有4/5若[x]=-1,有a>1;
若[x]=-2,有1≤a<2;
若[x]=-3,有1≤a<3/2;
若[x]=-4,有1≤a<4/3;
综上所述,3/4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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