题目

已知tanα，tanβ为方程x²-3x-3=0两根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求sin²（α+β）-3sin（2α+2β）-3cos²（α+β）的值．

提问时间：2020-11-08

答案

（1）由韦达达定理知

tanα+tanβ=3 tanαtanβ=-3

，又tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，∴tan(α+β)=

3

1+3

=

3

4

．
（2）原式=cos2(α+β)[tan2(α+β)-tan(α+β)-3]=

1

1+tan2(α+β)

[tan2(α+β)-6tan（α+β）-3]
=

1

1+( 3 4 )2[( 3 4 )2-6× 3 4 -3]

=-

111

25

．

（1）由韦达定理知

tanα+tanβ＝3 tanαtanβ＝−3

，可求 tan（α+β）的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，把要求的式子用6tan（α+β）来表示，把（1）的结果代入运算．

本题考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系的应用，式子的变形是解题的难点．