题目

在三角形ABC中,a=5,b=4,cos(A-B)=31/32,求cosC

提问时间：2020-11-08

答案

2种方法如下：、
①∵a＞b,∴A＞B.
作∠BAD＝B交边BC于点D.
设BD＝x,则AD＝x,DC＝5-x.
在ΔADC中,注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32,由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2+4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中,AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8.
②因为a＞b 所以A＞B
作AB的中垂线DE交BC于E,过E作EF⊥AC于F ,
则cos(A－B)＝cos∠EAF＝AF/AE＝31/32
设AE＝32k,则AF＝31k,BE＝32k,CE＝5－32k,CF＝4－31k
因为EF^2＝AE^2－AF^2＝CE^2－CF^2
所以(32k)^2－(31k)^2＝(5－32k)^2－(4－31k)^2
解得：k＝1/8
所以cosC＝CF/CE＝(4－31/8)/(5－32/8)＝1/8
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