题目
已知正方形ABCD,一直角三角形的直角顶点放在正方形对角线BD上的一点E上,将此三角板绕点E旋转时,两边分A
,BC于M,N.当M在AB上,点N在CB延长线上时 求证:BM-BN=根号2BE
,BC于M,N.当M在AB上,点N在CB延长线上时 求证:BM-BN=根号2BE
提问时间:2020-11-07
答案
证明:
过E点作BC的垂线交BC于G,则BG=EG=(√2/2)*BE
MN^2=BM^2+BN^2=ME^2+NE^2
NE^2=EG^2+NG^2
=EG^2+(BN+EG)^2
=[(√2/2)*BE]^2+[BN+(√2/2)*BE]^2
=BE^2/2+BN^2+√2*BN*BE+BE^2/2
=BE^2+BN^2+√2*BN*BE
ME^2=BE^2+BM^2-2BE*BMcos45度
=BE^2+BM^2-√2*BM*BE
ME^2+NE^2
=BE^2+BM^2-√2*BM*BE+BE^2+BN^2+√2*BN*BE
=2BE^2+BM^2+BN^2-√2*BM*BE+√2*BN*BE
=2BE^2+BM^2+BN^2-√2*BE(BM-BN)
=BM^2+BN^2
所以
2BE^2-√2*BE(BM-BN)=0
√2(BM-BN)=2BE
BM-BN=√2*BE
证毕
过E点作BC的垂线交BC于G,则BG=EG=(√2/2)*BE
MN^2=BM^2+BN^2=ME^2+NE^2
NE^2=EG^2+NG^2
=EG^2+(BN+EG)^2
=[(√2/2)*BE]^2+[BN+(√2/2)*BE]^2
=BE^2/2+BN^2+√2*BN*BE+BE^2/2
=BE^2+BN^2+√2*BN*BE
ME^2=BE^2+BM^2-2BE*BMcos45度
=BE^2+BM^2-√2*BM*BE
ME^2+NE^2
=BE^2+BM^2-√2*BM*BE+BE^2+BN^2+√2*BN*BE
=2BE^2+BM^2+BN^2-√2*BM*BE+√2*BN*BE
=2BE^2+BM^2+BN^2-√2*BE(BM-BN)
=BM^2+BN^2
所以
2BE^2-√2*BE(BM-BN)=0
√2(BM-BN)=2BE
BM-BN=√2*BE
证毕
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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