题目

在ΔABC中,已知（a^2+b^2）sin（A-B）=（a^2-b^2）×sin（A+B）.求证：ΔABC为等腰三角形或直角三角形.

提问时间：2020-11-07

答案

将已知等式按照和差角公式展开得到：
(a²+b²)*(sinAcosB-cosAsinB)=(a²-b²)(sinAcosB+cosAsinB)
整理得到：
b²sinAcosB-a²cosAsinB=-(b²sinAcosB-a²cosAsinB)
显然等式左右两边互为相反数,所以等式两边有且只有等于0才能成立,即：
b²sinAcosB=a²cosAsinB
又根据△的正弦定理,有：a/b=sinA/sinB
那么有：sinAsin²BcosB=sin²AcosAsinB
显然A,B≠0,所以sinA≠0,sinB≠0
等式两边消去非零项得到：
sinBcosB=sinAcosA
要使上式成立有且仅有两种情况：
壹：A=B（即△为等腰三角形）；
贰：A=90°-B（即△为Rt三角形）.