题目

求圆的方程的小小问题
一圆圆心在直线X-y-4=0上,且过两圆x方+y方+6x-4=0和x方+y方+6y-28=0的交点,求此圆方程.

提问时间：2020-11-07

答案

x²+y²+6x-4=0 ……(1)
x²+y²+6y-28=0 ……(2)
(1)-(2)得
y=x+4 ……(3)
(3)代入(1)得
x²+7x+6=0 ……(4)
即(x+1)(x+6)=0,解得
x=-1 or -6 ……(5)
(5)代入(3)得
y=3 or -2 ……(6)
求得两个交点A(-1,3)、B(-6,-2).
所求圆过A、B两点,其圆心Q必在AB的垂直平分线L上,
直线AB的斜率=(-2-3)/(-6+1)=1,所以L的斜率为-1,
线段AB的中点M坐标为((-1-6)/2,(3-2)/2),即M(-7/2,1/2)
所以L的方程为：y-1/2=-(x+7/2),即
x+y+3=0 ……(7)
已知圆心还在直线
x-y-4=0 ……(8)
上.所以必为(7)、(8)的交点,联立(7)、(8)解得圆心坐标为Q(1/2,-7/2),
半径的平方|QA|²=(-1-1/2)²+(3+7/2)²=178/4,
所求圆的方程为(x-1/2)²+(y+7/2)²=178/4
即 (2x-1)²+(2y+7)²=178