题目

已知O为坐标原点,点M(1,-2),点N(x,y)满足条件(x≥1,x-2y≤1,x-4y+3≥0),则向量OM与向量ON乘积的最大值为

提问时间：2020-11-06

答案

已知O为坐标原点,点M(1,-2),点N(x,y)满足条件(x≥1,x-2y≤1,x-4y+3≥0),则向量OM•ON的最大值
OM=(1,-2)；设ON=(x,y),则OM•ON=x-2y；其中点N位于x=1；x-2y=1；x-4y+3=0三条直线所围成的三角形的区域(含边界).设x=1与x-2y=1的交点为A(1,0)；x=1与x-4y+3=0的交点为
B(1,1)；x-2y=1与x-4y+3=0的交点为C(5,2)；显然,当N在线段AC上运动时,由于AC上的点都
满足x-2y=1,故当N 在AC上时恒有OM•ON=x-2y=1；当N在△ABC内除AC边界以外的任何位置时,都有y≧(1/2)(x-1),故此时有OM•ON≦x-2[(1/2)(x-1)]=x-(x-1)=1；即有OM•ON≦,∴OM•ON
的最大值为1.