已知圆O1,圆O2的半径都等于一如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4.过动点P分 - 超级试练试题库

题目

已知圆O1,圆O2的半径都等于一如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4.过动点P分

以O₁O₂所在直线为x轴,以O₁O₂的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.

∵|O₁O₂|=4,

∴O₁(-2,0),O₂(2,0).

∴圆O₁的方程为(x+2)²+y²=1,

圆O₂的方程为(x-2)²+y²=1.

设P(x,y),则

|PM|²=|PO₁|²-|O₁M|²

=(x+2)²+y²-1,

|PN|²=|PO₂|²-|O₂N|²

=(x-2)²+y²-1.

∵PM=PN,∴|PM|²=2|PN|².

∴(x+2)²+y²-1=2［(x-2)²+y²-1］.

整理,得x²+y²-12x+3=0.

∴(x-6)²+y²=33.

为什么：
|PM|²=|PO₁|²-|O₁M|^{2提问时间：2020-11-06}

答案

因为PM是圆O1的切线,所以PM垂直于O1M,三角形PO1M是直角三角形,根据勾股定理得|PM|2=|PO1|2-|O1M|2.
设P坐标为（x,y）,则|PO1|2=(x+2)2+y2,O1M是半径=1,
所以|PM|2=|PO1|2-|O1M|2=(x+2)2+y2-1
下面的O2也是一样.

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