题目

已知曲线y=2倍根号x+1,在曲线上是否存在点p,使在点p处曲线的切线方程与y=-2x+3垂直
若存在,写出这一点的坐标,并求出该点处的切线方程,若不存在,说出理由

提问时间：2020-11-05

答案

∵点P处曲线的切线方程与y=-2x+3垂直
∴可设该切线方程为y=1/2x+a
假设点P存在
则方程组
y=2√x+1
{ 有且只有一个根
y=1/2x+a
将方程组消元得 1/4x^2+(a-4)x+a^2-4=0
因上述方程有且只有一个根 故方程左边可以完全配方
设完全配方后方程为(1/2x+b)^2=0
∴b=a-4 b^2=a^2-4
∴a=5/2
即点P处切线方程为y=1/2x+5/2
因此可解得上述方程组之唯一根为x=3 y=4
∴假设成立 即点P存在
点P坐标为（3,4） 切线方程为y=1/2x+5/2