题目

解3道立体几何题
（1）已知正四棱柱对角线长为3厘米,它的全面积为16平方厘米,求它的体积.（有2个答案）.
（2）已知正三棱锥的底面边长为A,侧棱和底面所成的角为45度.求侧面积.
（3）已知正四棱台高12厘米,两底面边长差10厘米.全面积为512平方厘米,求上、下底面的边长.

提问时间：2020-11-05

答案

(1)设底边长为xcm,高为hcm
对角线长为3厘米:
2x^2+h^2=3^2=9——(1)
全面积为16平方厘米:
2x^2+4xh=16——(2)
由(1)(2)得
9x^4-52x^2+64=0
解得x=2或x=4/3（舍去负值）
x=2时h=1,体积V=x^2*h=4cm^2
x=4/3时h=7/3,体积V=x^2*h=(112/27)cm^2
(2)正三棱锥B-CDE,设底边长为x
过一条底边DE中点F,连接BF,CF
易得BF⊥DE,CF⊥DE
∴DE⊥面BCF
∴面CDE⊥面BCF
于是∠BCF=45°
在正ΔCDE和等腰ΔBDE中易得
CF=(√3)x/2
BF=√[A^2-(x/2)^2]
由余弦定理得：
CF^2=BF^2+BC^2-2BF*BCcos∠BCF
代入解得x=(√6)A/2
BF=√[A^2-(x/2)^2]=(√10)A/2
于是侧面积
S=(1/2)CD*BF=(√15)(A^2)/4
(3)设上底边长为xcm
正四棱台ABCD-A'B'C'D'
过A作下底面垂线交下底于E,则A'E=12cm
再过E作AB垂线交AB于F
由于上下底面边长差10cm,则易得AF=5cm
也易得等腰直角三角形AEF中EF=5cm
于是A'F=(5^2+12^2)^(1/2)=13cm
于是全面积
S=x^2+(x+10)^2+4*(1/2)(x+10+x)*13=512
x^2+36x-76=0
x=-38(舍去),或x=2
于是上底面边长为2cm
下底面边长为12cm