题目

线段AB是圆C₁:x²+y²+2x-6y=0的一条直径，离心率为

5

的双曲线C₂以A，B为焦点.若P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，则|PA|+|PB|=（　　）
A. 2

2

B. 4

2

C. 4

3

D. 6

2

提问时间：2020-11-05

答案

∵圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的半径r=

1

2

4+36

=

10

，
线段AB是圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的一条直径，
离心率为

5

的双曲线C₂以A，B为焦点，
∴双曲线C₂的焦距2c=|AB|=2

10

，
∵P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=

10

，e=

c

a

=

5

，
∴a=

2

，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6

2

．
故选D．

由题设知双曲线C₂的焦距2c=|AB|=2

10

，双曲线的实半轴a=

2

，由P是圆C₁与双曲线C₂的公共点，知||PA|-|PB||=2

2

，|PA|²+|PB|²=40，由此能求出|PA|+|PB|．

本题考点：直线与圆的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．

考点点评：本题考查|PA|+|PB|的值的求法，具体涉及到圆的简单性质，双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．