题目

三角函数的恒等变换
求最值
f(x)=sin2x+2√(sin2x+1)
后一项是根号下的sin2x+1
要求变换后求最值

提问时间：2020-11-05

答案

（1）此类题型还原比较容易
设√(sin2x+1)=t,故：sin2x=t²-1
因为-1≤sin2x≤1,故：0≤sin2x+1≤2
故：0≤t≤√2
故：y=f(x)=sin2x+2√(sin2x+1)
=t²-1+2t
=(t+1) ²-2
故：-1≤y≤(√2+1) ²-2=2√2+1
即：t=0时,此时x=kπ+3π/4或表示为x=kπ-π/4,k∈Z,y=f(x)有最小值－1
当t=√2时,此时x=kπ+π/4,k∈Z,y=f(x)有最大值2√2+1
（2）f(x)=sin2x+2√(sin2x+1)
=2sinx cosx+2√(2sinx cosx+sin²x+cos²x)
= sin²x+cos²x +2sinx cosx+2√(sinx+cosx) ²-1
=(sinx+cosx) ²+2∣sinx+cosx∣-1
=(∣sinx+cosx∣+1) ²-2
=(√2∣sin(x+π/4)∣+1) ²-2
故：∣sin(x+π/4)∣=0时.即：x=kπ-π/4,k∈Z,y=f(x)有最小值－1
∣sin(x+π/4)∣=1时.即：x=kπ+π/4,k∈Z,y=f(x)有最大值2√2+1