题目

已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是实数．
（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
（2）若a，b，c满足b²-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数．

提问时间：2020-11-04

答案

解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c．由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax2+2bx-18．（3分）又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．从而3a...

（1）因为函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，则导数在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在区间（-1，3）上小于零，可知，-1和3对应的导数值为0，再由f′（0）=-18，可求得导函数，再利用导函数与原函数间的关系，表示出原函数，再由f（0）=-7求解．
（2）若函数f（x）是单调函数，则导函数对应的方程无根即可，所以下面就转化为导数是恒大于零还是恒小于零问题求解．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与导数正负间的关系，当导数大于零时，函数为增函数，当导数小于零时，函数为减函数．