题目
过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
提问时间:2020-11-04
答案
(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为:y=kx+1,
由
,消y得k2x2+(2k-1)x+1=0,
①若k=0,方程为-x+1=0,解得x=1,此时直线与抛物线只有一个交点(1,1);
②若k≠0,令△=(2k-1)2-4k2=0,解得k=
,此时直线与抛物线相切,只有一个交点;
(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切只有一个交点;
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有3条.
故选B.
由
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①若k=0,方程为-x+1=0,解得x=1,此时直线与抛物线只有一个交点(1,1);
②若k≠0,令△=(2k-1)2-4k2=0,解得k=
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(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切只有一个交点;
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有3条.
故选B.
过点P(0,1)的直线与抛物线y2=x只有一个交点,则方程组
只有一解,分两种情况讨论即可:(1)当该直线存在斜率时;(2)该直线不存在斜率时;
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直线与圆锥曲线的关系.
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想,解决基本方法是:(1)代数法,转化为方程组解的个数问题;(2)几何法,数形结合;
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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