题目

已知函数f（x）=x²-4x-4的定义域为[t-2，t-1]，对任意t∈R，求函数f（x）的最小值g（t）的解析式．

提问时间：2020-11-03

答案

f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8；
若t-1≤2，即t≤3，f（x）在[t-2，t-1]上单调递减，∴g（t）=f（t-1）=t²-6t+1；
若t-2＜2＜t-1，即3＜t＜4，g（t）=f（2）=-8；
若t-2≥2，即t≥4，f（x）在[t-2，t-1]上单调递增，∴g（t）=f（t-2）=t²-8t+8；
∴g(t)＝

t2−6t+1 t≤3 −8 3＜t＜4 t2−8t+8 t≥4

．

讨论区间[t-2，t-1]和f（x）对称轴x=2的关系，根据f（x）的单调性及顶点即可求出f（x）的最小值g（t）．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：考查二次函数单调性和对称轴的关系，以及根据单调性及抛物线的顶点求最值的方法．