题目

1.当a从0度到180度变化时,方程X^2+Y^2COSa=1表示的曲线的形状怎样变化?
2.设抛物线的顶点为0,经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B.C,经过抛物线上的一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q.求证：线段|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.

提问时间：2020-11-03

答案

1.当a从0度到180度变化时,方程X^2+Y^2COSa=1表示的曲线的形0状怎样变化?
当α从0到π/2时,方程为x²+y²/(1/cosα)=1.是一系列,x轴为短轴,长度为1,y轴为长轴,长度为1/√cosα的椭圆.长轴的长度随着α增加而增加.
当α=π/2时,方程变为x²=1,为平行于y轴,分布在y轴两侧的两条直线.
当α从π/2到π时,方程为x²-y²/(1/|cosα|)=1.是一系列,x轴为实轴,长度为1,y轴为虚轴的双曲线.双曲线随着α增加而越来越远离y轴.焦距=√(1+1/cos²α)=√(1+cos²α)/|cosα|,随着α的增大而减小.
当α=π时,方程变为x²-y²=1为标准双曲线
2.设抛物线的顶点为0,经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B.C,经过抛物线上的一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q.求证：线段|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.
设抛物线方程为y²=2px,因为过焦点垂直于轴的直线和抛物线有两个焦点,那么直线BC垂直于x轴,B,C的x轴坐标为p/2,对应的y的坐标为p,-p.所以|BC|=2p.
因为PQ垂直于x轴,设OQ=a,PQ²=2pa,显然有
|PQ|²=|BC|*|OQ|=2p*a=2pa成立.