题目

设函数y=f(X)(x∈R 且x≠0)对任意非零实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立
(1)求证:f(1)=f(_1)=0,且f(1/x)=-f(x)(x≠0) (2)判断f(x)的奇偶性 (3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,解不等式f(1/x)-f(2x-1)≥0

提问时间：2020-11-03

答案

(1)由y=f(X)(x∈R 且x≠0)对任意非零实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立 设x=1 y=1 ∴f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1) ∴f(1)=0 设x=-1 y=-1 ∴f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0 ∴f(-1)=0 ∵f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0 ∴f(1/x)=-f(x)(x≠0) (2)f(1)=f(-1)=0 是偶函数 (3)∵是偶函数 在(0 +∞)上递增,∴在(-∞ 0)上递减 当X>0时 f(1/x)-f(2x-1)≥0 ∴1/x≥2x-1 解得x∈(0 1]或[-1/2 -∞) ∴x∈(0 1] 当x