题目

证明数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),.收敛,并求其极限

提问时间：2020-11-03

答案

1,先证数列递增
数列递增显而易见,也可以用第二数学归纳法证明这个数列递增
因为a1=√2<√(2+√2)=a2即a1假设当n<=k时有a(k-1)则当n=k+1时
ak=√(2+a(k-1))<√(2+ak)从而an所以数列an递增
2、再证数列有界
再用数学归纳法证明这个数列是有上界的
因为有a1=√2<2,
假设当n=k时ak<2
则当n=k+1时
a(k+1)=√(2+ak)<√(2+2)=2
从而an<2
因为an是单调有界数列,所以极限存在
3、最后求极限
设极限为A
有A=√(2+A)
解出A=2