题目

如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过O作EF⊥AC分别交AD、BC于点F、E，若AB=2cm，AC=4cm，BC=2

3

cm，求四边形AECF的面积．

提问时间：2020-11-03

答案

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，
∵O为矩形ABCD对角线的交点，
∴AO=CO，
在△AOE与△COF中，

∠CAD=∠ACB AO=CO ∠AOE=∠COF=90°

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又AO=CO，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
设FC=x，
则在Rt△ABF中，BF=BC-FC=2

3

-x，
∴AF²=AB²+BF²，
即x²=2²+（2

3

-x）²，
解得x=

4 3

3

，
∴四边形AECF的面积=FC•AB=

4 3

3

×2=

8 3

3

cm²．
故答案为：

8 3

3

cm²．

根据矩形的对角线互相平分可得AO=CO，然后证明△AOE与△COF全等，从而得到四边形AECF是平行四边形，然后证明EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=FC，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理列式求出AF的长度，再根据平行四边形的面积公式计算即可．

本题考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了矩形的性质以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，主要分两步进行，先证明四边形AECF是平行四边形，然后利用勾股定理求出AF的长度即可．