题目

已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|ka+b|=根号3|a-kb|（k>0),
1）若向量a与b的夹角为60°,求k的值
2）记f（k）=a*b ,是否存在实数x使得f(k)>=1-tx对任意的t∈[-1,1]恒成立?
1）k=1
2)不存在

提问时间：2020-11-03

答案

1
|a|=|b|=1,=π/3
即：a·b=1/2
|ka+b|=√3|a-kb|
即：|ka+b|^2=3|a-kb|^2
即：k^2|a|^2+|b|^2+2ka·b=3(|a|^2+k^2|b|^2-2ka·b)
即：k^2+1+k=3+3k^2-3k
即：4k=2k^2+2
即：k^2-2k+2=(k-1)^2=0
即：k=1
2
|ka+b|=√3|a-kb|
即：|ka+b|^2=3|a-kb|^2
即：k^2|a|^2+|b|^2+2ka·b=3(|a|^2+k^2|b|^2-2ka·b)
即：k^2+1+2ka·b=3+3k^2-6ka·b
即：8ka·b=2k^2+2
即：f(k)=a·b=(k^2+1)/(4k)
=(1/4)(k+1/k)≥(1/4)*2=1/2
f(k)≥1-tx,对任意的t∈[-1,1]恒成立
即要求1-tx≤1/2,对任意的t∈[-1,1]恒成立
即要求tx≥1/2,对任意的t∈[-1,1]恒成立
这样的x值是不存在的