题目

已知函数f(x)=x^2/2+(a-3)x+lnx.(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的最小值；（2）在函数f(x)的图像上是否存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点的横坐标为x0,直线AB的斜率为k,有k=f′(x0)成立?若存在,请求出x0的值,若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-11-03

答案

1) 定义域为x>0
f'(x)=x+(a-3)+1/x
x+1/x>=2,f'(x)>=2+a-3=a-1,要使其在定义域上是单调函数,因为在正无穷大时导数为正无穷大,因此为单调增函数,因此有：a-1>=0,得a>=1,a的最小值为1.
2)假设存在两个这样的不同点,则有
x0=(x1+x2)/2
y1=x1^2/2+(a-3)x1+lnx1
y2=x2^2/2+(a-3)x2+lnx2
k=(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)/2+(a-3)+[ln(x2/x1)]/(x2-x1)
f'(x0)=x0+(a-3)+1/x0=(x1+x2)/2+(a-3)+2/(x1+x2)
由k=f'(x0)---> ln(x2/x1)/(x2-x1)=2/(x1+x2)---> ln(x2/x1)=2(x2-x1)/(x1+x2)
令t=x2/x1,得lnt=2(t-1)/(t+1)=2-4/(t+1)
令g(t)=lnt-2+4/(t+1),g'(t)=1/t-4/(t+1)^^2=(t-1)^2/t(t+1)^2>=0
因此g(t)为单调增函数,至多只有一个根,而因g(1)=0,知此根为1.此时x1=x2,与题意不符.因此不存在这样的两个不同点.