题目

已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R 都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)
已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R 都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x＞0时,f(x)>2
(1)求f(0)的值,并证明：当x＜0时,1＜f(x)

提问时间：2020-11-03

答案

(1)令x=y=0
f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2变为
f(0)=f(0)^2-2f(0)+2
f(0)^2-3f(0)+2=0
(f(0)-1)(f(0)-2)=0
f(0)=1或f(0)=2
因为 x>0时,f(x)>2
令x>0 y=0
f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2变为
f(x)=f(x)f(0)-f(x)-f(0)+2
若f(0)=1,则
f(x)=f(x)-f(x)-1+2 得到f(x)=1不满足条件,
所以f(0)=2
(2) 令y=-x 且x0
所以f(y)=f(-x)>2
f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2 变为
f(0)=f(x)*f(-x)-f(x)-f(-x)+2
f(x)*f(-x)-f(x)-f(-x)=0
f(-x)=f(x)/[f(-x)-1]>2
f(x)/[f(-x)-1]-2>0
[f(x)-2f(x)+2]/[f(x)-1]>0
[f(x)-2]/[f(x)-1]