题目

已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R).(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间
已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R)
(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间；
（2）求f(X)在[1,e]上的最小值

提问时间：2020-11-03

答案

证明：（Ⅰ）当a=2时,f（x）=x2-2lnx,
当x∈（1,+∞）时,f′(x)=2(x2-1)x＞0,
所以f（x）在（1,+∞）上是增函数． （5分）
（Ⅱ）f′(x)=2x2-ax(x＞0),
当x∈[1,e],2x2-a∈[2-a,2e2-a]．
若a≤2,则当x∈[1,e]时,f′（x）≥0,
所以f（x）在[1,e]上是增函数,
又f（1）=1,故函数f（x）在[1,e]上的最小值为1．
若a≥2e2,则当x∈[1,e]时,f′（x）≤0,
所以f（x）在[1,e]上是减函数,
又f（e）=e2-a,所以f（x）在[1,e]上的最小值为e2-a．
若2＜a＜2e2,则当1≤x＜a2时,f′（x）＜0,此时f（x）是减函数；
当a2＜x≤e时,f′（x）＞0,此时f（x）是增函数．
又f(a2)=a2-a2lna2,
所以f（x）在[1,e]上的最小值为a2-a2lna2．
综上可知,当a≤2时,f（x）在[1,e]上的最小值为1；
当2＜a＜2e2时,f（x）在[1,e]上的最小值为a2-a2lna2；
当a≥2e2时,f（x）在[1,e]上的最小值为e2-a．（13分）