题目

在四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD的中点,且AE垂直AB,AF⊥CD,连接EF 求证 AB=AD
当AB,CD,BC之间有什么关系时 △AEF为等边三角形

提问时间：2020-11-03

答案

【纠正：此题应为AE⊥BC】
证明：
连接AC
∵AE⊥BC,E是BC的中点
∴AE是BC的垂直平分线
∴AB=AC【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
∵AF⊥CD,F是CD的中点
∴AF是CD的垂直平分线
∴AC=AD
∴AB=AD.①
若⊿AEF为等边三角形
则∠AEF=∠AFE=60º
∴∠CEF=∠CFE=30º
∴CE=CF
∴BC=CD
∵CE=CF,AE=AF,AC=AC
∴⊿AEC≌⊿AFC（SSS）
∴∠EAC=∠FAC=30º
∴∠BAE=∠CAE=30º
∴∠B=60º
则⊿ABC为等腰三角形
∴AB=BC=CD.②