题目

若α,β∈(0,π),tanα/2=1/2,sin(α-β)=5/13,求cosβ

提问时间：2020-11-03

答案

∵tanα/2=1/2
∴(sinα/2)/(cosα/2)=1/2
∵ sin²α/2+cos²α/2=1
α∈(0,π),α/2∈(0,π/2)
解得sinα/2=√5/5,cosα/2=2√5/5
∴sinα=2sinα/2cosα/2=4/5
cosα=2cos²α/2-1=3/5
∵α,β∈(0,π) cosα>0
∴α∈(0,π/2),
∴α-β∈（-π,π/2)
∵sin(α-β)=5/13>0
∴α-β∈（0,π/2)
∴cos(α-β)=12/13
∴cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=3/5*12/13+4/5*5/12
=56/65