题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．

（1）求证：AP=AM；
（2）求证：PC=AN．

提问时间：2020-11-03

答案

证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=∠ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴在△PQA与△ANM中，

∠PAQ＝∠AMN AQ＝MN ∠AQP＝∠ANM

，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM；
（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，
∴AN=PQ  AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN．

（1）要点是确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AP=AM；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：本题是几何综合题，全等三角形的判定与性质、角平分线性质等重要知识点．题干中给出的条件较多，图形复杂，难度较大，对考生能力要求较高；解题时，需要认真分析题意，以图形的全等为主线寻找解题思路．解答中提供了多种解题方法，可以开拓思路，希望同学们认真研究学习．