题目

正弦函数：已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,丨φ丨＜π/2）的图像在y轴上的截
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,丨φ丨＜π/2）的图像在y轴上的截距为1,在相邻两最值点（x0,2）,（x0+3/2,－2）（x0＞0）上f（x）分别取得最大值与最小值,
求f（x）的解析式
（2）若函数f（x）满足方程f（x）=a（1＜a＜2）,求在[0,9]内的所有实数根之和.

提问时间：2020-11-03

答案

（1）在（x0,2）,（x0+3/2,－2）（x0＞0）上f（x）分别取得最大值与最小值
所以f(x)的最大值为2,也就是A=2
并且T/2=x0+3/2-x0=3/2,求出T=3
T=2π/ω=3求出ω=2π/3
f(x)=2sin(2π/3x+φ)
当x=0时,f(x)=1,
所以2sin(φ)=1
解得sin(φ)=1/2
由于丨φ丨＜π/2,所以φ=π/6
综上f(x)=2sin(2π/3x+π/6)
（2）
你要是画出函数的图像就直观多了
y=f(x)与y=a在[0,9]上有6个交点,分别设为x1到x6
令2π/3x+π/6=π/2
解得x=1/2
也就是说x=1/2是x>0时第一个取得最大值的点
所以y=f(x)与y=a在区间[0,3]上的两个交点x1和x2关于x=1/2对称
所以x1+x2=1/2*2=1
由于f(x)的周期为3,所以f(x)在[0,9]上还有两个最大值点7/2和13/2
同理可以知道
y=f(x)与y=a在区间[3,6]上的两个交点x3和x4关于x=7/2对称,即x3+x4=7/2*2=7,
y=f(x)与y=a在区间[6,9]上的两个交点x5和x6关于x=13/2对称,即x5+x6=13/2*2=13
所以六个根的和为1+7+13=21