题目

若不等式

x2

4

+3y2≥

xy

k

对任意的正数x，y恒成立，则正数k的取值范围为 ___ ．

提问时间：2020-11-03

答案

不等式

x2

4

+3y2≥

xy

k

对任意的正数x，y恒成立，
即

x2 4 +3y2

xy

≥

1

k

对任意的正数x，y恒成立，
∵

x2 4 +3y2

xy

≥

2 x2 4 •3y2

xy

=

3

，
∴

1

k

≤

3

，∵k＞0，∴k≥

3

3

．
∴正数k的取值范围是[

3

3

，+∞）．
故答案为：[

3

3

，+∞）．

把不等式两边同时乘以

1

xy

，然后利用基本不等式求得不等式左侧的最小值，由

1

k

小于等于该最小值求得k的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．