题目

已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交于A,B,点C的坐标是（1,0）.证明向量CA*向量C
是证明向量CA 乘 向量CB为常数

提问时间：2020-11-03

答案

就是用韦达定理（根与系数的关系）嘛.
首先设A坐标(x1,y1) B坐标(x2,y2)
易知向量CA与向量CB的点积（或内积,数量积）为x1*x2-(x1+x2)+y1*y2+1
所以就有了下面的步骤：
易知过焦点F（2,0）的直线方程可表示为y=k*(x-2) (k不等于0,k=无穷大的情况要另外考虑,这个情况很简单,A,B点x坐标相同,y坐标值互为相反数,算一下就OK了,我就不再叙述了)
与双曲线的方程联立得到方程组；
然后消去y得
(1-k^2)*x^2+4*k^2*x-(4*k^2+2)=0
易知x1,x2为这个方程的解,那么
由韦达定理知
x1*x2=-(4*k^2+2)/(1-k^2)
x1+x2=-4*k^2/(1-k^2)
y1*y2可由y=k*(x-2)代换后得到k^2*(x1-2)*(x2-2)即k^2*(x1*x2-2*(x1+x2)+4)
剩下的就是把这些代进去算了,不难.
我算的是最后的常数为（k^2-1）/(1-k^2)=-1
不过最后还要再考虑k=+1和-1,说明一下
当k=+1和-1时直线和渐近线平行了,所以与双曲线只有一个交点,所以k的取值范围为k>1且k