题目

函数f（x）=sin（x+θ）+

3

cos（x-θ）的图象关于y轴对称，则θ的值是（以下k∈Z）（　　）
A. kπ−

π

6

B. 2kπ−

π

6

C. kπ−

π

3

D. 2kπ−

π

3

提问时间：2020-11-03

答案

∵f（x）=sin（x+θ）+

3

cos（x-θ）的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）=sin（x+θ）+

3

cos（x-θ）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即sin（-x+θ）+

3

cos（-x-θ）=sin（x+θ）+

3

cos（x-θ），
sin（x+θ）+sin（x-θ）=

3

[cos（x+θ）-cos（x-θ）]，
等号两端分别展开，整理得：
2sinxcosθ=-2

3

sinxsinθ，
∵sinx不恒为0，
∴tanθ=-

3

3

，又y=tanx的周期为kπ（k∈Z且k≠0），
∴θ=kπ-

π

6

（k∈Z）．
故选A．

依题意，由f（-x）=f（x）⇒sin（x+θ）+sin（x-θ）=

3

[cos（x+θ）-cos（x-θ）]，等号两端分别展开后整理可得tanθ=-

3

3

，从而可得答案．

本题考点：正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数．

考点点评：本题考查正弦函数的对称性，考查两角和与差的正弦与余弦，考查正切函数的周期性与特殊值，突出转化思想的考查，属于中档题．