题目

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=

1，0＜x＜1，0＜y＜2x 0，其它

，求Z=2X-Y的概率密度．

提问时间：2020-11-03

答案

Z=2X-Y的分布函数为：
F_Z（z）=P{Z≤z}，
当z≤0时，F_Z（z）=0，
当0＜z＜1时，
z=2x-y与x轴的交点为：(

z

2

，0)，与x=1的交点为（1，2-z），
F_Z（z）=1-

1

2

×(1−

z

2

)×(2−z)=1-(1−

z

2

)2，
当z≥1时，F_Z（z）=1，
故F_Z（z）=

0，  z≤0 1−(1− z 2 )2，  0＜z＜1 1，  z≥1

．
求导可得，Z=2X-Y的密度函数为：
f_Z（z）=F_Z（z）=

2(1− z 2 )，  0＜z＜1 0，  其他

．

由二维随机变量（X，Y）的概率密度f（x，y）可以计算Z=2X-Y的分布函数F_Z（z），求导即可计算Z=2X-Y的概率密度．

本题考点：概率密度的性质．

考点点评：本题考查了由二维随机变量（X，Y）的密度函数求解随机变量Z=2X-Y的概率密度的方法．对于该类题目，我们常用的解题方法是：首先由二维随机变量（X，Y）的概率密度f（x，y）计算随机变量Z=2X-Y的分布函数F_Z（z），然后求导计算Z=2X-Y的概率密度．