题目

已知等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为-4
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（4-a_n）•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

提问时间：2020-11-03

答案

（1）∵等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为-4，
∴

3a1+ 3×2 2 d＝6 8a1+ 8×7 2 d＝−4

，
解得a₁=3，d=-1．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+（n-1）×（-1）=4-n．
（2）∵a_n=4-n，
∴b_n=（4-a_n）•2^n-1=n•2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1×(1−2n)

1−2

-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴Sn＝n•2n+1−2n．

（1）由等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为-4，利用等差数列的前n项和公式建立方程组求出a₁=3，d=-1．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=4-n，知b_n=（4-a_n）•2^n-1=n•2^n-1，所以数列{b_n}的前n项和S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

本题考点：数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．