题目

.已知如图,平面直角坐标系中,A(-3,0) B(0.3),点C位x轴正半轴上一动点,过A做AD⊥BC交y轴于E （1）若C得坐标为（2,0）求E的坐标.（2）若C在x轴正半轴上运动,且OC＜3其他条件不变,连OD,求证：角BDO的度数不变 （3）在A有一等腰直角三角形AMN绕A旋转,且AM＝MN 角AMN＝90°,连BN,点P位BN的中点,猜想OP与MP的数量和位置关系并证明

提问时间：2020-11-03

答案

根据面积关系可知:AC*OB=BC*AD,(3+2)*3=[√(OB^2+OC^2)]*AD.
即:15=(√13)*AD,AD=15/√13,CD=√(AC^2-AD^2)=10/√13.
∠AOE=∠ADC=90°;∠OAE=∠DAC.则⊿AOE∽⊿ADC.
AO/AD=OE/DC,3/(15/√13)=OE/(10/√13),OE=2.即点E为(0,2)
(2)结论有误,正确结论应该是:∠ADO的度数不变.
证明:∠ADB=∠AOB=90°,则A,O,D,B在同AB为直径的同一个圆上.
所以,∠ADO=∠ABO=45°.
(3)OP=MP; OP垂直MP.
证明:取AN的中点F,取AB的中点G,连接FM,FP,GP,GO.则MF⊥AN;GO⊥AB.
又点P为BN中点,故:PG=AN/2=MF;OG=AB/2=PF;PF∥AB,PG∥AN,则∠PGB=∠NAB=∠NFP.
又∠NFM=∠OGB=90度,则∠OGP=∠PFM(等角的余角相等).
∴⊿OGP≌⊿PFM(SAS),OP=PM;∠GOP=∠FPM.
OG垂直AB,PF平行AB,则PF垂直OG,∠GOP+∠OPF=90度.
则∠FPM+∠OPF=90度,故OP垂直MP.