题目

求n阶实对称幂矩阵A（A^2=A)的秩为r,求：行列式 I+A+A^2+.+A^n

提问时间：2020-11-03

答案

你问的题还是有些份量的哈, 哪来的题?
解: 第1步.
设a是A的特征值.
则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值
而 A^2-A=0
所以 a^2-a=0, a(a-1)=0.
所以 a=0 或 1.
第2步.
因为实对称矩阵可对角化
所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(1,1,...,1,0,0,...,0) =B (记为B)
由 r(A)=r, 所以对角矩阵B=diag(1,1,...,1,0,0,...,0)中有r个1, n-r个0.
且 B^k = B.
第3步.
由P^-1AP=B得 A=PBP^-1,
且有 A^k = (PBP^-1)^k = PB^kP^-1 =PBP^-1
所以
|I+A+A^2+.+A^n|
= | I+PBP^-1+PBP^-1+...+PBP^-1 |
= |P(I+nB)P^-1|
= |I+nB|
= (1+n)^r.
满意请采纳^_^